Brevi cenni sulle potenze e sui  logaritmi utili per i calcoli da applicare agli esercizi di stechiometria

Aggiornamento 11 settembre 2007 - C.Tavagnacco

 

Questo non vuole essere un corso di matematica, ma solo un semplice strumento per rammentare alcune regole pratiche da utilizzare per fare più velocemente i calcoli in un laboratorio di chimica.

 

In genere tutti i calcoli degli esercizi di stechiometria vengono eseguiti con l’ausilio della calcolatrice, tuttavia tale fatto risulta, talora, didatticamente poco efficace, perché fa perdere allo studente la sensibilità nei confronti della grandezza del numero ottenuto come risultato. Non si deve mai accettare pedissequamente il risultato in un esercizio senza aver fatto prima una valutazione razionale sul suo valore numerico e sulle sue dimensioni.

Poiché nel digitare le cifre decimali può accadere di dimenticare o aggiungere uno zero in più, oppure di sbagliare la posizione della virgola o il segno dell’esponente in una potenza, è necessario sempre controllare che il risultato ottenuto non sia assurdo dal punto di vista chimico o fisico in relazione all’esercizio svolto.

Un classico esempio è il numero di Avogadro 6.02 x 1023: frequentemente capita di scriverlo in maniera errata con l’esponente negativo 10-23 il che rende il suo significato logico dal punto di vista matematico ma assurdo dal punto di vista chimico.

A tale scopo risulta necessario ricordare alcuni principi fondamentali della matematica che sono spesso adoperati negli esercizi di stechiometria.

Si raccomanda l’uso della notazione scientifica ogni volta che sia possibile: si ottiene così la diminuzione del numero delle cifre e la semplificazione dei calcoli, grazie alla possibilità di usare le potenze e le loro regole.

 

Durante la prova orale dell’esame di “Chimica generale ed inorganica con  laboratorio” è richiesto agli studenti di sapere effettuare alcuni semplici calcoli, soprattutto relativi alla preparazione di soluzioni, agli equilibri, al pH ed ai pK, in cui si devono adoperare, oltre alle classiche 4 operazioni, anche potenze e logaritmi, senza l’ausilio della calcolatrice.

 

Seguono alcuni cenni sulle regole e sull’uso delle potenze e dei logaritmi con numerosi esempi pratici.

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POTENZE     an                                               a è detta base, n è detto esponente

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an = a x a x a …  n volte

a1 = a;  a0 = 1                        

 

es.     64 =  6 x 6 x 6 x 6 = 1296

 

es.     100 = 1; 101 = 10; 102 = 100; 103 = 1000; 107 = 10000000;

regola pratica: 10n equivale a 1 con n zeri dietro.

 

es.     10-1 = 0.1; 10-2 = 0.01; 10-3 = 0.001; 10-7 = 0.0000001; 

regola pratica: 10-n equivale a 1 con n zeri davanti.

 

es.     12.340 = 1; 8.21 = 8.2

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a-n = (1/a)n = 1/(an)                                     

es.     5-1 = 1/5 = 0.2; 4-2 = 1/(42) = 1/16; 10-12 = 1/(1012); 10-1 = 1/10; 10-2 = 1/100; 0.1-1 = 10;

(3/5)-1 = 5/3;

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an x ap = a(n + p)     

es.     102 x 102 = 104; 10 x 103 = 104;  103 x 10-5 = 10-2; 10-3 x 10-4 = 10-7;             

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an / ap = a(n - p)                                                               

es.     105/103 = 102; 105/10-3 = 108; 10/10-6 = 107; 10-5/10-2 = 10-3; 10-4/102 = 10-6

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(an)p = an x p

es.     (105)3 = 1015; (24)-3 = 2-12; 0.0002/0.005 = 2 x 10-4 / 5 x 10-3 = 2/5 x 10-1

         0.1 / (0.4 x 10-4 x 250) = 10-1 / (4 x 10-5 x 2.5 x 102) = 10-1 / (10 x 10-3) = 10-1 / 10-2 = 10

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an/p = rad(p-esima) di an      (rad sta per radice) n può essere anche 1.

Attenzione: l’esponente della base e l’indice della radice si possono semplificare.

es.     (105/3) = rad(terza) di 105; rad(quadrata) di 10-6 = 10-6/2 = 10-3;

rad(quarta) di 10-8 = 10-8/4 = 10-2; rad(quinta) di 1015 = 103

 

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(a x b)n = an x bn

es. (5 x 3)2 = 52 x 32; (4 x 10-4)3 =  43 x 10-12; rad(terza) di (27 x 10-12) = 271/3 x 10-12/3 = 3 x 10-4

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(a/b)n = an / bn

es. (3 / 4 x 2 )2 = 32 / 42 x 22

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esempio pratico

 

360000/ 0.02 = ?      È molto più semplice da eseguire se si adoperano la notazione scientifica  e le regole sulle potenze:

3.6 x 105 / 2 x 10-2 = 1.8 x 107

 

0.01/400 = 1 x 10-2 / 4 x 102 = 0.25 x 10-4  = 2.5 x 10-5

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LOGARITMI

 

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loga n = x         significa risolvere l’equazione ax = n

 

es. log5  25 = 2

 

Solitamente negli esercizi di chimica si adoperano i log10 che convenzionalmente vengono indicati solo con “log”.

 

log n = x          significa risolvere l’equazione 10x = n

 

Non esistono i log dei numeri negativi.

 

Se 0 < n < 1 allora log n < 0.

Se 1 < n < 10 allora 0 < log n < 1.

 

log 1 = 0; log 10 = 1; log 100 = 2; log 1000 = 3; log 10000 = 4

I log dei numeri diversi dalle potenze di 10 si determinano con la calcolatrice.

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log ap = p log a

es. log 102 = 2 log 10 = 2; log 10-5 = -5; log 0.001 = log 10-3 = -3; log 10000000 = log 107 = 7;

log 1/10 = log 10-1 = -1; log 1/100000 = log 10-5 = -5

 

Regola pratica: il log di una potenza di 10 è = all’esponente. Conviene comunque trasformare il numero in forma esponenziale. Questa regola è molto utile nel calcolo del pH.

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log (a x b) = log a + log b

es. log (1 x 100) = log 1 + log 100 = 0 + 2 = 2, log (1.8 x 10-5) = log 1.8 + log 10-5 = log 1.8 –5 = 4.74

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log (a / b) = log a - log b

es. log (1 / 100) = log 1 - log 100 = 0 - 2 = -2; oppure: log (1/100) = log (100-1) = -1 log 102 = 2 x (-1) log 10 = -2; log 5/104 = log 5 - log 104 = log 5 - 4 = -3.30

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altri esempi:

 

log (1.8 x 10-5/ 3.5 x 10-3) = (log 1.8 x 10-5) – (log 3.5 x 10-3) = (log 1.8 + log 10-5) – (log 3.5+ log 10-3)

(log 1.8) –5 – [(log 3.5) –3] = -2.29

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i log sono collegati agli esercizi sul pH e sul pK.

 

pH = -log [H+]      [H+] = 10-pH

pK = -log K          K = 10-pK

 

Regola pratica: se la [H+] contiene solo potenze di 10 allora il pH = esponente cambiato di segno. Le stesse considerazioni valgono per il pK.

es : determinare il pH se [H+] = 1 x 10-9

pH = -log 1 x 10-9 = -(log 1 + log 10-9) = -(0 - 9 log 10) = - (-9 x 1) = 9

es : determinare il pK per un acido se K = 1 x 10-4

pK = 4

 

Se la [H+] contiene anche altri numeri, oltre alle potenze di 10, si può egualmente stimare un risultato approssimato anche senza l’uso della calcolatrice:

es : determinare il pH se [H+] = 7.8 x 10-6

-log 7.8 x 10-6 = -(log 7.8 + log 10-6) = -(log 7.8 - 6 log 10) = - (log 7.8 - 6) = ?

Poiché i log dei numeri compresi tra 1 e 10 sono minori di 1, anche il log 7.8 è minore di 1: pertanto

-6 + log 7.8 = -5…. e quindi pH = -(-5….) = 5….

A riprova di quanto detto, usando la calcolatrice pH = 5.1.

 

Es: determinare [H+] se pH = 5;         [H+] = 10-pH = 10-5

Es: determinare [H+] se pH = 6.45;     [H+] = 10-pH = 10-6.45; ma 10-6.45 = 10-6 x  10-0.45 e quindi [H+] è compresa tra 10-6 e 10-7.

Per ottenere il risultato esatto è necessario adoperare la calcolatrice: [H+] = 3.5 x 10-7